Comment intégrer avec le changement de variable (méthode u-substitution) – Explications par NancyPi

Une diplômée du MIT explique comment maîtriser l’intégration par substitution (u-substitution) en calcul différentiel. Pour aller directement à l’essentiel :

1) Exemple de base : quand le *du* vous donne exactement l’expression dont vous avez besoin pour substituer, passez à 1:30.
2) Cas où il faut réorganiser le *du* : multipliez ou divisez parce que le *du* a un coefficient ou un signe différent de ce dont vous avez besoin, passez à 8:21.
3) Quand il faut ajuster *u* : soustrayez ou ajoutez car l’expression *du* ne correspond pas à ce dont vous avez besoin, passez à 17:15.
4) Substitution avec fonctions trigonométriques (sin/cos) et règle de puissance, passez à 22:35. Nancy, ex-MathBFF, détaille chaque étape.

Pour toutes les intégrales par substitution u :

Étape 1 : Choisissez votre *u*. Optez généralement pour l’expression en *x* la plus complexe, à l’intérieur d’une puissance, d’une racine carrée ou au dénominateur (dans une « fonction imbriquée »). Posez *u =* cette expression en *x*.

Étape 2 : Trouvez *du* en dérivant *u* par rapport à *x*. Par exemple, si *u = 3x + 2*, alors *du = 3 dx*. À retenir : N’oubliez pas d’ajouter *dx* à la fin de votre expression différentielle *du*.

Étape 4 : Intégrez, en n’oubliant pas d’ajouter + C à la fin (car il s’agit d’une intégrale indéfinie, sans limites). Le *du* disparaît une fois l’intégration effectuée.

Dernière étape : Remplacement inverse (*back-substitution*) : remplacez partout où *u* apparaît par l’expression en *x* que vous aviez choisie initialement.